Комбинаторика – это раздел математики, посвященный задачам выбора и расположения предметов из различных множеств.

Учащиеся 8 класса знакомятся с правилом умножения, перестановками и факториалом числа, числом сочетаний.

Правило умножения

1.Разбор материала 

2. Решить задачи на сайте uztest.ru  до 25.02.2025
Если число предметов первого типа равно m, а число предметов второго типа равно n, то число их комбинаций равно mn.

Задача 1. Из села А в село Б ведут четыре дороги, а из села Б в село В – три дороги. Сколькими способами можно добраться из А в В через село Б?

Решение. Если из А в Б добираться по первой дороге, то продолжить путь есть три способа:

Получаем по три способа продолжить путь, начав добираться и по второй, и по третьей, и по четвёртой дороге.

Значит, всего получается 4 · 3 = 12 способов добраться из А в В.

Задача 2. Из пункта А в пункт В ведут пять дорог, а из пункта В в пункт С – шесть дорог. Сколькими способами можно добраться из А в С через В?

Решение. Из А в В можно проехать по пяти дорогам, а из В в С по шести дорогам. Значит, всего 5· 6 =30 различных способов пути из А в С.

Задача 3. На вершину холма ведут пять тропинок. Сколько существует способов подняться на холм и спуститься с него, если подниматься и спускаться по разным тропинкам?

Решение. Подняться можно по одной из пяти тропинок, а спуститься по одной из четырёх оставшихся (кроме той, по которой поднялись).

Всего 5 · 4 = 20 способов.

Задача 4. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 8, если цифры в записи числа не повторяются?

Решение. Первой цифрой числа может быть любая из четырёх данных цифр, второй – любая из трёх других, а третьей – любая из двух оставшихся.

Всего из данных цифр можно составить 4 · 3 · 2 = 24 трёхзначных числа.

Задача 5. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, если цифры в записи числа не повторяются?

Решение. Первой цифрой числа может быть любая из трёх цифр: 1, 3, 5, второй – любая из трёх других, а третьей – любая из двух оставшихся.

Всего из данных цифр можно составить 3 · 3 · 2 = 18 трёхзначных чисел.

Задача 6. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить при помощи цифр 1, 5, 9, 4, если цифры в числе не могут повторяться и на месте десятков может быть только чётное число?

Решение. Первую цифру можно выбрать тремя способами, т.к. четвёрку брать нельзя. На втором месте может стоять только четвёрка, значит одним способом.

Третью цифру можно выбрать двумя способами, т.к. цифры в числе не повторяются.

Получается 3 · 1 · 2 = 6 различных трёхзначных чисел.

Задача 7. Сколько существует трёхзначных чисел, в записи которых нет цифры 5?

Решение. Мы можем использовать девять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.

Первую цифру мы можем выбрать восемью способами, т.к. нельзя брать 0 и 5. Вторую цифру можем выбрать девятью способами, столькими же способами и третью цифру.

Получается 8 · 9 · 9 = 648 трёхзначных чисел.

Задача 8. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из нечётных цифр, если цифры в записи числа не повторяются?

Решение. Всего нечётных цифр пять: 1, 3, 5, 7, 9.

Первой цифрой числа может быть любая из пяти данных цифр, второй – любая из четырёх оставшихся, третьей – любая из трёх оставшихся, а четвёртой – любая из двух оставшихся.

Получается 5 · 4 · 3 · 2 = 120 различных четырёхзначных чисел.

Задача 9. Сколько различных шифров можно набрать в автоматической камере хранения, если шифр составляется с помощью любой из 28 букв русского алфавита с последующим набором трёхзначного цифрового кода?

Решение. Первой цифрой шифра может быть любая из десяти цифр, второй – любая из десяти цифр, третьей – любая из десяти цифр, а буква может быть любая из двадцати восьми.

Получается 28 ∙ 10 · 10 · 10 = 28 000 вариантов различных шифров.