Правило умножения
Теория:
В жизни часто сталкиваемся с ситуациями, когда из определённых компонентов необходимо составить разные комбинации. Количество данных комбинаций зависит от многих факторов, в частности от количества компонентов.
Комбинаторика и характеризуется изучением общего количества способов группировки различных комбинаций.
Одним из основных правил комбинаторики является правило умножения.
Если первых элемент в комбинации можно выбрать x способами, а второй элемент — y способами, то общее количество комбинаций из двух элементов будет равно x⋅y.
Простое правило умножения помогает определить количество комбинаций из двух компонентов.
Пример:
какое количество двузначного кода можно составить, если первую цифру можно выбрать из 3 вариантов, а вторую — из 7?
Для выполнения задания необходимо воспользоваться правилом умножения: 3⋅7 = 21.
Получаем, что существует 21 вариант составления двузначного кода.
Но далеко не всегда количество элементов равно двум. Чаще число элементов значительно больше. Правило умножения распространяется и на эти случаи. И называется общим комбинаторным правилом умножения.
Когда комбинация состоит из n элементов, при этом первый элемент в комбинации можно выбрать x1 способами, а второй элемент — x2 способами, третий элемент — x3 и т. д., то общее количество комбинаций будет равно произведению n сомножителей: x1⋅x2⋅x3⋅…⋅xn.
Пример:
какое количество пятизначного кода можно составить, если первую цифру можно выбрать из 6 вариантов, вторую — из 4 вариантов, третью — из 3 вариантов, четвёртую — из 5 вариантов, а пятую — из 2 вариантов?
Применяем общее комбинаторное правило умножения: 6⋅4⋅3⋅5⋅2 = 720.
720 вариантов пятизначного кода можно составить при данном условии.
Для применения правила умножения важно правильно определять количество вариативности каждого элемента. Тогда и результат будет верным.

Правило умножения при решении различных комбинаторных задач
Теория:
Комбинаторное правило умножения можно применять не только в стандартных задачах, но и в более сложных. Конечно, как и при решении любой задачи, важно рассуждать.
Рассмотрим задачи.
Пример:
Задача 1. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 8, 5 и 3? Цифры могут повторяться.
Решение:
для первой цифры можем выбрать одну цифру из трёх. Для второй цифры числа варианта выбора — тоже 3, для третьей цифры, аналогично, 3 цифры для выбора. То есть применяем общее комбинаторное правило умножения: 3⋅3⋅3 = 27.
Значит, 27 различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 8, 5 и 3 при условии повторения цифр.
Рассмотрели задачи, в которой цифры могли повторяться. Поэтому для выбора каждого элемента оставалось одно и то же количество вариантов.
Выполним решение задачи, в которой цифры при составлении комбинации не повторяются.
Пример:
Задача 2. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 8, 5 и 3? Цифры не повторяются.
Решение:
решение данной задачи отличается от предыдущей тем, что цифры не должны повторяться. Значит, количество выбора цифр с каждой последующей цифрой будет уменьшаться.
Для первой цифры можем выбрать одну цифру из трёх. Для второй цифры числа варианта выбора — уже из 2 оставшихся цифр, для третьей цифры остаётся только 1 цифра. Теперь применяем общее комбинаторное правило умножения: 3⋅2⋅1 = 6.
6 различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 8, 5 и 3 при условии неповторения цифр.
Теперь можем записать основную формулу комбинаторного правила без повторений.
Когда комбинация состоит из нескольких элементов, при этом первый элемент в комбинации можно выбрать x1 способами, а второй элемент — x2=x1−1 способами, третий элемент — x3=x2−1=x1−2 и т. д., то общее количество возможных вариантов равно: x1⋅(x1−1)⋅(x1−2)⋅…
При решении задач, в которых элементы расставляются без повторений, важно понимать, что с каждым последующим выбранным элементом количество вариантов для выбора уменьшается.

ВЫПОЛНИТЬ ТЕСТ НА САЙТЕ учи ру  по теме «Комбинаторное правило умножения».