Ссылка на изучение материала
Закон распределения вероятностей. Закон больших чисел
2. Закон больших чисел
Теория:
Очень многие события в нашей жизни являются следствием совместного влияния большого числа мелких факторов.
Например, время в пути на работу зависит от пробок, светофоров, пешеходов и т. д. Все эти факторы, накладываясь друг на друга, и дают итоговое время в пути.
Но если постоянно ездить на работу, то вырабатывается некоторое среднее время. Такая устойчивость к сильным отклонениям от среднего связана с тем, что среди всего множества независимо действующих мелких факторов будут как факторы, уменьшающие время в пути, так и факторы, увеличивающие это время.
Уменьшающие и увеличивающие факторы взаимно погашают друг друга, поэтому суммарное отклонение от среднего невелико.
При этом чрезвычайно важны две вещи:
1) все действующие факторы не должны быть сильными,
2) все действующие факторы должны быть независимыми.
Математической формулировкой этого принципа является закон больших чисел.
Для каждого положительного числа r при неограниченном увеличении числа n независимых повторений испытания с двумя исходами вероятность того, что частота k/n появления «успеха» отличается менее чем на r от вероятности p «успеха» в одном отдельном испытании, стремится к единице.
Т. е. среднее арифметическое многих независимых случайных величин сходится к некоторому значению при увеличении числа этих величин.
Механизм этого прежний — отклонения вправо и влево взаимно погашаются. Именно на этом принципе основано то, что многократное повторение одного и того же приводит к почти предсказуемому результату.
Существует способ приближённых вычислений вероятности Pn(k) наступления k «успехов» в n независимых повторениях эксперимента с помощью гауссовой функции.
Существуют расширенные таблицы значений для гауссовой функции. Они составлены для значений аргумента x с шагом 0,01.
Опишем применение гауссовой кривой для приближённых вычислений в теореме Бернулли.
Алгоритм применения функции y=ϕ(x) в приближённых вычислениях.
Для расчёта вероятности Pn(k) необходимо:
• удостовериться в справедливости неравенства npq>10;
• определить xk по формуле xk=k−npnpq−−−√;
• используя таблицу значений гауссовой функции, найти ϕ(xk);
• предыдущий результат разделить на npq−−−√.
Pn(k)=ϕ(xk)npq−−−√.
Вероятности Pn(k), обычно очень малы. В связи с этим при большом числе n в схеме Бернулли для числа k «успехов» целесообразно определить не одно точное значение, а некоторый диапазон, в пределах которых допустимо изменение числа k.
Pn(k1≤k≤k2) — такая запись показывает, что число «успехов» k в n испытаниях Бернулли находится в диапазоне от k1 до k2.
Ф(x) — площадь заштрихованной фигуры.
График функции y=Φ(x):
Алгоритм использования функции y=Ф(x) в приближённых вычислениях:
• проверить справедливость неравенства npq≥10;
• вычислить x1 и x2 по формулам:
x1=k1−npnpq−−−√;x2=k2−npnpq−−−√;
• по таблице вычислить значения Φ(x1) и Φ(x2);
• найти разность Φ(x2)−Φ(x1):
Pn(k1≤k≤k2)≈Φ(x2)−Φ(x1).