Условная вероятность. Правило умножения

Решить тест на сайте uchi.ru

Теория:
Зачастую событие A в случайном опыте рассматривают при условии, что имеет место некоторое другое событие B. Происхождение события B меняет эксперимент. Фактически, когда происходит событие, мы получаем новый эксперимент, и вероятности других событий при этом имеют возможность меняться. Вероятность события A при условии события B может остаться прежней, вырасти или уменьшиться.
Вероятность события A при условии, что событие B произошло, называется условной вероятностью события A при условии события B.
Обозначается эта вероятность P(A|B).

Изучим случайный опыт, где наступает событие B, а при этом условии наступает событие A. Изобразим схему этого эксперимента с помощью цепочки событий. Переходы от одного события к другому изобразим стрелками.

Опыт начинается с точки S (start). В ходе опыта наступает событие B. И при условии события B наступает событие A. По факту, при этом наступают оба события A и B, то есть наступает событие A∩B.
3. Правило умножения
Теория:
Пример:
в коробке 6 жёлтых и 4 зелёных маркера. Один за другим достают два маркера. Необходимо посчитать вероятность того, что первым будет жёлтый, а после — зелёный маркер.
Вероятность первым извлечь жёлтый маркер равна 6/(6+4)=6/10. После этого в коробке останется 5 жёлтых маркеров и 4 зелёных. Значит, теперь вероятность достать зелёный маркер равна 4/(5+4)=4/9. Это условная вероятность.
Для простоты обозначим цвета заглавными буквами Ж и З и по правилу умножения получаем P(Ж∩З)=P(Ж)⋅P(З|Ж)=6/10⋅4/9=24/90=4/15.

То есть, если выразить отсюда условную вероятность, получим формулу для её нахождения.
В случае, когда вероятность события B больше нуля, P(A|B)=P(A∩B)P(B).
Пример:
в ТЦ стоят два автомата, которые предлагают приобрести пончики. Вероятность того, что к окончанию дня пончики закончатся в каждом автомате отдельно, равна 0,4. В двух автоматах сразу пончики заканчиваются с вероятностью 0,25. В вечернее время подходит мастер для обслуживания автоматов и обнаруживает, что в первом автомате пончики закончились. Какой теперь будет вероятность того, что во втором автомате пончики также закончились?
Пусть событие A — «пончики закончились в первом автомате», B — «пончики закончились во втором автомате».
По условию P(A)=0,4;P(A∩B)=0,25.

Нужно найти P(B|A): P(B|A)=P(A∩B)P(A)=0,250,4=0,625.