01.02.2025 ВиС 10 «А Б» классы «Перестановки и факториал»

Разбор материала

1. Перестановка. Факториал Теория: Существуют ситуации в комбинаторике, когда множество из элементов k необходимо упорядочить.

Пример: например, составить трёхбуквенный шифр из букв X, Y, Z можно следующими вариантами: XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX. То есть имеются шесть различных вариантов составления шифра из данных элементов. Для первого значения шифра можно выбрать букву из 3 имеющихся. Для второго элемента шифра на выбор есть только две буквы из оставшихся. И для последнего компонента шифра остаётся только одна буква. Таким образом, элементы шифра располагаются в определённом порядке.

Если количество элементов k, то первый компонент можем выбрать из данных k компонентов, второй — из k−1 оставшихся, третий компонент выбирать будем из k−2; так будем выбирать компоненты, пока не останется единственный последний компонент. Для определения количества способов возможных вариантов таких перестановок используется формула умножения: k⋅(k−1)⋅(k−2)⋅…⋅3⋅2⋅1.

Комбинация из k различных компонентов, расположенных в определённом порядке, называется перестановкой. Перестановка из k различных компонентов характеризуется порядком следования компонентов в комбинации. Произведение всех натуральных чисел от 1 до k называется факториалом числа k.

Обрати внимание! Факториал обозначается k! k!=1⋅2⋅3⋅…⋅k. 1!=1;2!=1⋅2=2;3!=1⋅2⋅3=2!⋅3=6;4!=1⋅2⋅3⋅4=3!⋅4=24.

Пример: покажем примеры вычислений факториалов: 2!+3!=1⋅2+1⋅2⋅3=2+6=8;2!+3!=2!(1+3)=2⋅4=8;4!−3!=3!(4−1)=6⋅3=18;4!6!=1⋅2⋅3⋅41⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6=4!4!⋅5⋅6=15⋅6=130.

Обрати внимание! Важно запомнить, что 0!=1.

Количество перестановок длины k равно k!

Разбор материала  с презентацией

https://docviewer.yandex.com/view/0/?page=21&*=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%3D